מבנים אלגבריים למדעי המחשב מערכי תרגול קורס 89-214 אבי אלון, תומר באואר וגיא בלשר ינואר 2016, גרסה 0.22 אוניברסיטת בר אילן סמסטר א תשע ו
תוכן העניינים 3 מבוא.............................. 3 מבוא לתורת המספרים.................... 1 7 מבנים אלגבריים בסיסיים................... 2 11 חבורת אוילר......................... 3 11 תת חבורות.......................... 4 12 סדר של איבר וסדר של חבורה................ 5 14 חבורות ציקליות....................... 6 16 מכפלה קרטזית של חבורות.................. 7 17 החבורה הסימטרית (על קצה המזלג).............. 8 19 מחלקות........................... 9 23 10 חישוב פונקציית אוילר.................... 25 11 תת חבורה הנוצרת על ידי איברים............... 26 12 החבורה הדיהדרלית...................... 26 13 נושאים נוספים בחבורה הסימטרית.............. 29 14 שימוש בתורת החבורות: אלגוריתם. RSA.......... 31 15 הומומורפיזמים........................ 33 16 תת חבורות נורמליות..................... 35 17 חבורות מנה......................... 37 18 משפטי האיזומורפיזם של נתר................. 41 19 הצמדות........................... 45 20 חבורות אבליות סופיות.................... 47 21 משוואת המחלקה....................... 49 22 תת חבורת הקומוטטור.................... 50 23 שדות סופיים......................... 53 24 בעיית הלוגריתם הבדיד ואלגוריתם דיפי-הלמן......... 54 25 אלגוריתם מילר-רבין לבדיקת ראשוניות............ 2
מבוא כמה הערות טכניות לתחילת הקורס: דף הקורס נמצא באתר.www.math-wiki.com שאלות בנוגע לחומר הלימודי מומלץ לשאול בדף השיחה באתר של הקורס. ישנה חובת הגשת תרגילים, אבל בודקים רק לחצי מהסטודנטים. החומר בקובץ זה נאסף מכמה מקורות, ומבוסס בעיקרו על מערכי תרגול קודמים בקורסים מבנים אלגבריים למדעי המחשב ואלגברה מופשטת למתמטיקה. נשמח לכל הערה על מסמך זה. 1 מבוא לתורת המספרים נסמן כמה קבוצות של מספרים: }... 3, {1, 2, = N המספרים הטבעיים..(Zahlen המספרים השלמים (מגרמנית: Z = {0, ±1, ±2, ±3,... } { } p {0} Z\ Q = : p Z, q המספרים הרציונליים. q R המספרים הממשיים. C המספרים המרוכבים. מתקיים.N Z Q R C הגדרה 1.1. יהיו,a b מספרים שלמים. נאמר כי a מחלק את b אם קיים k Z כך ש- b,ka = ונסמן.a b למשל. 5 10 משפט 1.2 (משפט החילוק, או חלוקה אוקלידית). לכל d,0 n Z קיימים,q r יחידים כך ש- r n = qd + וגם d r <.0 המשפט לעיל מתאר מה קורה כאשר מחלקים את n ב- d. הבחירה בשמות הפרמטרים במשפט מגיעה מלע ז (מאנגלית?) quotient (מנה) ו- remainder (שארית). הגדרה 1.3. בהנתן שני מספרים שלמים,n m המחלק המשותף המירבי (ממ מ, greatest (common divisor שלהם מוגדר להיות המספר gcd(n, m) = max {d N : d n d m} לעיתים נסמן m).(n, למשל = 2 10).(6, נאמר כי n, m זרים אם = 1 m).(n, למשל.(2, 5) = 1 3
הערה 1.4. אם d a וגם,d b אזי d מחלק כל צירוף לינארי של a ו- b. טענה.1.5 אם,n = qm + r אז r).(n, m) = (m, הוכחה. נסמן (m d, =,n) וצ ל כי (r d. =,m) אנו יודעים כי d n וגם.d m אנו יכולים להציג את r כצירוף לינארי של,n, m ולכן.d r = n qm מכך קיבלנו r).d (m, כעת, לפי הגדרה,m) r) r וגם,m), r) m ולכן,m) r) n כי n הוא צירוף לינארי של.m, r אם ידוע כי (m, r) m וגם,(m, r) n אזי.(m, r) d סך הכל קיבלנו כי.d = (m, r) משפט 1.6 (אלגוריתם אוקלידס). המתכון למציאת ממ מ בעזרת שימוש חוזר בטענה 1.5 הוא אלגוריתם אוקלידס. ניתן להניח m < n.0 אם = 0,m אזי.(n, m) = n אחרת נכתוב n = qm + r כאשר r < m 0 ונמשיך עם r).(n, m) = (m, (הבינו למה האלגוריתם חייב להעצר.) דוגמה 1.7. נחשב את הממ מ של 53 ו- 47 בעזרת אלגוריתם אוקלידס (53, 47) = [53 = 1 47 + 6] (47, 6) = [47 = 7 6 + 5] (6, 5) = 1 דוגמה נוספת עבור מספרים שאינם זרים: (224, 63) = [224 = 3 63 + 35] (63, 35) = [63 = 1 35 + 28] (35, 28) = [35 = 1 28 + 7] (28, 7) = [28 = 4 7 + 0] (7, 0) = 7 משפט 1.8 (אפיון הממ מ כצירוף לינארי מזערי). מתקיים לכל מספרים שלמים,a b כי (a, b) = min {au + bv N} u,v בפרט קיימים s, t Z כך ש- tb.(a, b) = sa + הערה.1.9 מן המשפט קיבלנו כי.(a, b) az + bz דוגמה 1.10. כדי למצוא את המקדמים,s t כשמביעים את הממ מ כצירוף לינארי כנ ל נשתמש באלגוריתם אוקלידס המוכלל: (234, 61) = [234=3 61+51 51 = 234 3 61] (61, 51) = [61=1 51+10 10 = 61 1 51 = 61 1 (234 3 61) = 1 234 + 4 61] (51, 10) = [51=5 10+1 1 = 51 5 10 = 51 5 ( 1 234 + 4 61) = 6 234 23 61] (10, 1) = 1 4 ולכן 61 23 234 6 = 1 = 61).(234,
תרגיל 1.11. יהיו,a,b c מספרים שלמים כך ש- 1 = (b,a) וגם.a bc הראו כי.a c פתרון. לפי אפיון הממ מ כצירוף לינארי, קיימים,s t כך ש- tb = sa + 1. נכפיל ב- c ונקבל.c = sac + tbc ברור כי a sac ולפי הנתון גם.a tbc לכן tbc),a (sac + כלומר.a c טענה 1.12. תכונות של ממ מ:.1 יהי m) d = (n, ויהי e כך ש- e m וגם,e n אזי.e d (an, am) = a (n, m).2 3. אם p ראשוני וגם,p ab אזי p a או.p b הוכחת התכונות. 1. קיימים,s t כך ש- sn+tm d. = כיוון ש- m,e n, אז הוא מחלק גם את צירוף לינארי שלהם,sn + tm ז א את d. 2. (חלק מתרגיל הבית).3 אם,p a אז = 1 a).(p, לכן קיימים s, t כך ש- 1 =.sa+tp נכפיל את השיוויון האחרון ב- b ונקבל.sab + tpb = b ברור כי p מחלק את אגף שמאל (הרי,(p ab ולכן p מחלק את אגף ימין, כלומר.p b הגדרה 1.13. בהנתן שני מספרים שלמים,n m הכפולה המשותפת המזערית (כמ מ, least (common multiple שלהם מוגדרת להיות lcm(n, m) = min {d N : n d m d} לעיתים נסמן m].[n, למשל = 30 10], 6 ]ו- 10 = 5].[2, טענה 1.14. תכונות של כמ מ:.1 אם m a וגם,n a אז.[n, m] a.2 nm.[n, m] (n, m) = למשל 4 6 = 24 = 2 12 = 4) (6, 4].[6, הוכחת התכונות..1 יהיו q, r כך ש- r a = q [n, m] + כאשר m] r < [n,.0 מהנתון כי n, m a ולפי הגדרה m],n, m [n, נובע כי.n, m r אם 0 r זו סתירה למינימליות של m].[n, לכן m],a = q [n, כלומר.[n, m] a 2. נראה דרך קלה לחישוב הממ מ והכמ מ בעזרת הפירוק של מספר למכפלת גורמים ראשוניים. נניח כי הפירוק הוא n = i=1 p β i i = p β 1 1 p β 2 2 p β 3 3... m = i=1 p α i i = p α 1 1 p α 2 2 p α 3 3... 5
כעת צריך i α i, β (והם כמעט תמיד אפס כי המכפלה סופית). כאשר 0 להשתכנע כי (n, m) = i=1 p min(α i,β i ) i [n, m] = i=1 p max(α i,β i ) i ומפני שלכל שני מספרים α, β מתקיים β),α + β = min(α, β) + max(α, אז.[n, m] (n, m) = nm שאלה 1.15 (לבית). אפשר להגדיר ממ מ ליותר מזוג מספרים. יהי d הממ מ של המספרים.n 1,..., n k הראו שקיימים מספרים שלמים s 1,..., s k המקיימים + 1 s 1 n.k רמז: אינדוקציה על. + s k n k = d הגדרה 1.16. יהי n מספר טבעי. נאמר כי,a b Z הם שקולים בשארית חלוקה ב- n אם.n a b כלומר קיים k Z כך ש- kn.a = b + נסמן יחס זה n) a b (mod ונקרא זאת a שקול ל- b מודולו n. טענה 1.17 (הוכחה לבית). שקילות מודולו n היא יחס שקילות (רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי). כפל וחיבור מודולו n מוגדרים היטב. כלומר אם n),a b, c d (mod אז n) ac bd (mod וגם n).a + c b + d (mod צורת רישום 1.18. את אוסף מחלקות השקילות מודולו n מקובל לסמן = Z/nZ Z n = Z}.{[a] : a למשל [3]}, [2], [1], {[0] = 4.Z לפעמים מסמנים את מחלקת השקילות a. ולעיתים כאשר ההקשר ברור פשוט a, בסימון [a] תרגיל 1.19. מצאו את הספרה האחרונה של 333. 333 פתרון. נשים לב כי 111 333 333 = 3 333.333 לכן 111 1 (mod 10) 111 333 1 333 1 (mod 10) 3 333 = 3 4 83+1 = ( 3 4) 81 3 = 81 83 3 1 83 3 (mod 10) 333 333 = 3 333 111 333 3 (mod 10) ומכאן שהספרה האחרונה היא 3. תרגיל 1.20 (אם יש זמן). מצאו x Z 0 כך ש-( 234.61x 1 (mod פתרון. לפי הנתון, קיים k Z כך ש- 1 234k 61x. + ז א 1 הוא צירוף לינארי (מינימלי במקרה זה) של 61 ו- 234. לפי איפיון ממ מ קיבלנו כי = 1 (61,234). כלומר,k x הם המקדמים מן המשפט של איפיון הממ מ כצירוף לינארי מזערי. לפי תרגיל קודם 61 23 234 6 =.1 לכן 234),x 23 (mod וכדי להבטיח כי x אינו שלילי נבחר = 211.x 6
משפט 1.21 (משפט השאריות הסיני). אם,n m זרים, אזי לכל,a b Z קיים x יחיד עד כדי שקילות מודולו nm כך ש-( n x b (mod m),x a (mod (יחד!). הוכחה לא מלאה. מפני ש- 1 = m),(n, אזי קיימים s, t Z כך ש- 1 = tm.sn + כדי להוכיח קיום של x כמו במשפט נתבונן ב- atm.bsn + מתקיים bsn + atm atm a 1 a (mod n) bsn + atm bsn b 1 b (mod m) ולכן x = bsn + atm הוא פתרון אפשרי. ברור כי גם x = x + kmn לכל k Z הוא פתרון תקף. הוכחת היחידות של x מודולו nm תהיה בתרגיל הבית. דוגמה.1.22 נמצא x Z כך ש-( 3 x 1 (mod וגם 5).x 2 (mod ידוע כי = 1 3),(5, ולכן = 1 3 2 5 +. 1 במקרה זה = 3 m n = 5, וכן = 2 t,s = 1, ולפי משפט השאריות הסיני אפשר לבחור את = 7 6 2 + ( 5) 1 =.x אכן מתקיים.7 2 (mod 5) 7 וגם 1 (mod 3) משפט השאריות הסיני הוא יותר כללי. הנה גרסה שלו למערכת משוואות של שקילות מודולו: משפט 1.23 (אם יש זמן). תהא } k m} 1,..., m קבוצת מספרים טבעיים הזרים זה לזה (כלומר כל זוג מספרים בקבוצה הוא זר). נסמן את מכפלתם ב- m. בהנתן קבוצה כלשהי של שאריות k},{a i (modm i ) : 1 i קיימת שארית יחידה x מודולו m המהווה פתרון למערכת המשוואות x a 1 (mod m 1 ). x a k (mod m k ) דוגמה.1.24 נמצא y Z כך ש-ש-( 3 y 2 (mod 5),y 1 (mod וגם 3 y (7.(mod נשים לב שהפתרון = 7 y מן הדוגמה הקודמת הוא נכון כדי כדי הוספה של = 15 5 3 (כי 3) (mod 0 15 וגם 5) (mod 0.(15 לכן את שתי המשוואות.y 7 (mod 15) ניתן להחליף במשוואה אחת y 2 (mod 5),y 1 (mod 3) נשים לב כי = 1 (7,15) ולכן אפשר להשתמש במשפט השאריות הסיני בגרסה לזוג משוואות. בדקו כי = 52 y מהווה פתרון. 2 מבנים אלגבריים בסיסיים בהתאם לשם הקורס, כעת נכיר כמה מבנים אלגבריים. מבנה אלגברי שמכירים כבר באלגברה לינארית הוא שדה. אנו נגדיר כמה מבנים יותר פשוטים, כשהחשוב שבהם הוא חבורה. במרבית הקורס נתרכז בחקר חבורות. 7
הגדרה 2.1. תהי S קבוצה. פעולה בינארית operation) (binary על S היא פונקציה דו מקומית : S S S. עבור a, b S כמעט תמיד במקום לרשום b) (a, נשתמש בסימון a. b מפני שתמונת הפונקציה a b שייכת ל- S, נאמר כי הפעולה היא סגורה. הגדרה 2.2. אגודה (או חבורה למחצה, (semigroup היא מערכת אלגברית (,S) המורכבת מקבוצה לא ריקה S ומפעולה בינארית על S המקיימת קיבוציות (אסוציטיביות,.(a b) c = a (b c) מתקיים a, b, c S כלומר לכל.(associativity דוגמה 2.3. המערכת (+,N) של מספרים טבעיים עם החיבור הרגיל היא אגודה. דוגמה 2.4. המערכת (,Z) אינה אגודה, מפני שפעולת החיסור אינה קיבוצית. למשל.(5 2) 1 5 (2 1) צורת רישום 2.5. לעיתים נקצר ונאמר כי S היא אגודה מבלי להזכיר במפורש את המערכת האלגברית. במקרים רבים הפעולה תסומן כמו כפל, דהיינו ab או a, b ובמקום לרשום מכפלה aa... a של n פעמים a נרשום.a n הגדרה 2.6. תהי (,S) אגודה. איבר e S נקרא איבר יחידה אם לכל a S מתקיים.a e = e a = a הגדרה 2.7. מונואיד,monoid) או יחידון) (e,m), הוא אגודה בעלת איבר יחידה e. כאשר הפעולה ואיבר היחידה ברורים מן ההקשר, פשוט נאמר כי M הוא מונואיד. הערה 2.8 (בהרצאה). יהי (e,m), מונואיד עם איבר יחידה e. הוכיחו כי איבר היחידה הוא יחיד. הרי אם e, f M הם איברי יחידה, אז מתקיים.e = e f = f הגדרה 2.9. יהי (e,m), מונואיד. איבר a M יקרא הפיך משמאל אם קיים איבר a. יקרא הופכי שמאלי של b במקרה זה.ba = כך ש- e b M באופן דומה, איבר a M יקרא הפיך מימין אם קיים איבר b M כך ש- e.ab = במקרה זה b יקרא הופכי ימני של a. איבר יקרא הפיך אם קיים איבר b M כך ש- e.ba = ab = במקרה זה b יקרה הופכי של a. תרגיל 2.10 (בהרצאה). יהי a M איבר הפיך משמאל ומימין. וההופכי שלו הוא יחיד. הראו ש- a הפיך פתרון. יהי b הופכי שמאלי כלשהו של a (קיים כזה כי a הפיך משמאל), ויהי c הופכי ימני כלשהו של a (הצדקה דומה). נראה כי b = c ונסיק שאיבר זה הוא הופכי של a. ודאו כי אתם יודעים להצדיק כל אחד מן המעברים הבאים: c = e c = (b a) c = b (a c) = b e = b לכן כל ההופכיים הימיניים וכל ההופכיים השמאליים של a שווים זה לזה. מכאן גם שההופכי הוא יחיד, ויסומן 1 a. שימו לב שאם איבר הוא רק הפיך מימין ולא משמאל, אז יתכן שיש לו יותר מהופכי ימני אחד (וכנ ל בהיפוך הכיוונים)! 8
הגדרה 2.11. חבורה (group),g), (e היא מונואיד שבו כל איבר הוא הפיך. לפי ההגדרה לעיל על מנת להוכיח שמערכת אלגברית (,G) היא חבורה צריך להראות כי הפעולה היא סגורה, קיבוצית, שקיים איבר יחידה ושכל איבר הוא הפיך. כמו כן מתקיים: חבורה מונואיד אגודה. דוגמה 2.12. המערכת (+,Z) היא חבורה שאיבר היחידה בה הוא 0. בכתיב חיבורי מקובל לסמן את האיבר ההופכי של a בסימון a. כתיב זה מתלכד עם המושג המוכר של מספר נגדי ביחס לחיבור. דוגמה 2.13. יהי F שדה (למשל R Q, או C). אזי (0,+,F) עם פעולת החיבור של השדה היא חבורה. באופן דומה גם (+,( F) M) n,m (אוסף המטריצות בגודל n m מעל F) עם פעולת חיבור מטריצות היא חבורה. איבר היחידה הוא מטריצת האפס. דוגמה 2.14. יהי F שדה. המערכת (,F) עם פעולת הכפל של השדה היא מונואיד שאינו חבורה (מי לא הפיך?). איבר היחידה הוא 1. דוגמה.2.15 יהי F שדה. נסמן {0} \ F.F = אזי 1),, (F היא חבורה. לעומת זאת, המערכת (, Z) עם הכפל הרגיל של מספרים שלמים היא רק מונואיד (מי הם האיברים ההפיכים בו?). דוגמה 2.16. קבוצה בעלת איבר אחד ופעולה סגורה היא חבורה. לחבורה זו קוראים החבורה הטריוויאלית. הגדרה 2.17 (חבורת האיברים ההפיכים). יהי M מונואיד ויהיו,a b M זוג איברים. אם,a b הם הפיכים, אזי גם a b הוא הפיך במונואיד. אכן, האיבר ההופכי הוא 1 a.(a b) 1 = b 1 לכן אוסף כל האיברים ההפיכים במונואיד מהווה קבוצה סגורה ביחס לפעולה. כמו כן האוסף הנ ל מכיל את איבר היחידה, וכל איבר בו הוא הפיך. מסקנה מיידית היא שאוסף האיברים ההפיכים במונואיד מהווה חבורה ביחס לפעולה המצומצמת. נסמן חבורה זו ב-( U(M (קיצור של.(Units הגדרה 2.18. המערכת (,(R) M) n של מטריצות ממשיות בגודל n n עם כפל מטריצות היא מונואיד. לחבורת ההפיכים שלו U(M n (R)) = GL n (R) = {A M n (R) : det A 0} קוראים החבורה הלינארית הכללית (ממעלה n) מעל.(General Linear group) R הגדרה 2.19. נאמר כי פעולה דו מקומית : G G G היא אבלית (או חילופית, (G, ) אם.a b = b a מתקיים a, b G אם לכל שני איברים (commutative חבורה והפעולה היא אבלית, נאמר כי G היא חבורה אבלית (או חילופית). המושג נקרא על שמו של נילס הנריק א בּ ל Abel).(Niels Henrik דוגמה.2.20 יהי F שדה. החבורה ) ), (F (GL n אינה אבלית עבור > 1.n 9
דוגמה 2.21. מרחב וקטורי V יחד עם פעולת חיבור וקטורים הרגילה הוא חבורה אבלית. הערה 2.22. עבור קבוצה סופית אפשר להגדיר פעולה בעזרת לוח כפל. b} S = {a, ונגדיר a b a a a b b b למשל, אם אזי (,S) היא אגודה כי הפעולה קיבוצית, אך היא אינה מונואיד כי אין בה איבר יחידה. נשים לב שהיא לא חילופית כי,a b = a אבל b. a = b בבית תתבקשו למצוא לוחות כפל עבור S כך שיתקבל מונואיד שאינו חבורה, שתתקבל חבורה וכו. הערה 2.23 (אם יש זמן). בקורס באלגברה לינארית כנראה ראיתם הגדרה של שדה (1,,0,+,F) הכוללת רשימה ארוכה של דרישות. בעזרת ההגדרות שראינו נוכל לקצר אותה. נסמן {0} \ F F. = נאמר כי F הוא שדה אם (0,+,F) היא חבורה חילופית, a, b, c F לכל,distributive law) היא חבורה חילופית וקיום חוק הפילוג (F,, 1) מתקיים.(a(b + c) = ab + ac תרגיל 2.24. האם קיים מונואיד שיש בו איבר הפיך מימין שאינו הפיך משמאל? פתרון. כן. נבנה מונואיד כזה. תהא X קבוצה. נסתכל על קבוצת ההעתקות מ- X לעצמה המסומנת {X X. X = f} : X ביחס לפעולת ההרכבה זהו מונואיד, ואיבר היחידה בו הוא העתקת הזהות. ההפיכים משמאל הם הפונקציות החח ע. ההפיכים מימין הם הפונקציות על (להזכיר את הטענות הרלוונטיות מבדידה). מה יקרה אם נבחר את X להיות סופית? (לעתיד: לחבורה ), X U(X קוראים חבורת הסימטריה על X ומסמנים.S X אם n} X = {1,..., מקובל לסמן את חבורת הסימטריה שלה בסימון S, n ולכן כל איבר הפיך משמאל. עבור 3 n זו חבורה לא אבלית.) אם ניקח למשל X = N קל למצוא פונקציה על שאינה חח ע. הפונקציה שנבחר היא 1) n.d(n) = max(1, לפונקציה זו יש הופכי מימין, למשל + 1 n,u(n) = אבל אין לה הפיך משמאל. צורת רישום 2.25. יהי n מספר טבעי. נסמן את הכפולות שלו ב-{...,±2n.nZ =,0},n± למשל }... 12, 4, 0, 4, 8, 8, 12,,.. {. =.4Z דוגמה.2.26 נסתכל על אוסף מחלקות השקילות מודולו.Z n = {[a] : a Z},n כזכור חיבור וכפל מודולו n מוגדר היטב. למשל [b [a]+[b] = a] + כאשר באגף שמאל הסימן + הוא פעולה בינארית הפועלת על אוסף מחלקות השקילות (a הוא נציג של מחלקת שקילות אחת ו- b הוא נציג של מחלקת שקילות אחרת) ובאגף ימין זו פעולת החיבור הרגילה של מספרים (שלאחריה מסתכלים על מחלקת השקילות שבה a + b נמצא). אפשר לראות כי (+, n Z) היא חבורה אבלית. נבחר נציגים למחלקות השקילות [0] + [a] = [0 + a] = [a] איבר היחידה הוא [0] (הרי.Z n = {[0], [1],..., [n 1]} לכל [a]). קיבוציות הפעולה והאבליות נובעת מקיבוציות והאבליות של פעולת החיבור הרגילה. האיבר ההופכי של [a] הוא [a n]. 10
מה ניתן לומר לגבי (, n Z)? ישנה סגירות, ישנה קיבוציות וישנו איבר יחידה [1]. אך זו לא חבורה כי ל-[ 0 ] אין הופכי. נסמן {[0]} \ n.z n = Z האם ) n, (Z חבורה? לא בהכרח. למשל עבור 6 Z נקבל כי [0] = [6] = [3].[2] לפי ההגדרה / Z n,[0] ולכן (,n Z) אינה סגורה (כלומר אפילו לא אגודה). 3 חבורת אוילר דוגמה 3.1. עדין ניתן להציל את המקרה של הכפל מודולו n. נגדיר את חבורת אוילר (Euler) להיות ) n U n = U(Z לגבי פעולת הכפל. נבנה את לוח הכפל של Z 6 (בהתעלם מ-[ 0 ] שתמיד יתן במכפלה [0]): 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 2 2 4 0 2 4 3 3 0 3 0 3 4 4 2 0 4 2 5 5 4 3 2 1 האיברים ההפיכים הם אלו שמופיע עבורם 1 (הפעולה חילופית ולכן מספיק לבדוק רק עמודות או רק שורות). כלומר {[5], [1]} = 6 U. במקרה זה [5] הוא ההופכי של עצמו. הערה.3.2 אם p הוא מספר ראשוני, אז U p = Z p (למה?). טענה 3.3 (הוכחה לבית). בדומה להערה האחרונה, נאפיין את האיברים ב- U. n יהי.m Z אז [m] U n אם ורק אם = 1 m).(n, כלומר, ההפיכים במונואיד הם כל האיברים הזרים ל- n. Z) n, ( דוגמה.3.4 11} {1, 5, 7, = 12.U דוגמה 3.5. לא קיים ל- 5 הופכי כפלי ב- Z, 10 שכן אחרת 5 היה זר ל- 10 וזו סתירה. טענה 3.6 (מההרצאה). יהי.m Z אז [m] U n אם ורק אם = 1 m).(n, כלומר, ההפיכים במונואיד (, n Z) הם כל האיברים הזרים ל- n. 4 תת חבורות הגדרה 4.1. תהי G חבורה. תת קבוצה H G היא תת חבורה, אם היא מהווה חבורה ביחס לפעולה המושרית מ- G. דוגמה 4.2. לכל חבורה G יש שתי תת חבורות באופן מיידי: {e} G (הנקראת תת החבורה הטריוויאלית), ו- G G. דוגמה 4.3. לכל.nZ Z n, Z בהמשך נוכיח שאלו כל תת החבורות של Z. 11
דוגמה 4.4 (בתרגיל). mz nz אם ורק אם.n m דוגמה.4.5 +), n (Z אינה תת חבורה של +) (Z, כי Z n אינה מוכלת ב- Z : האיברים ב- Z n הם מחלקות שקילות, ואילו האיברים ב- Z הם מספרים. דוגמה.4.6 n U אינה תת חבורה כפלית של ), n (Z כי ), n (Z אינה חבורה. דוגמה.4.7 ), (R) (GL n אינה תת חבורה של +), (R) (M n כי הפעולות בהן שונות. טענה 4.8 (קריטריון מקוצר לתת חבורה מההרצאה). תהי H G תת קבוצה. אזי H תת חבורה של G אם ורק אם שני התנאים הבאים מתקיימים:.e H.1.h 1 h 1.2 לכל,h 1, h 2 H גם H 2 SL n (F ) = {A GL n (F ) det A = 1} תרגיל 4.9. יהי F שדה. נגדיר הוכיחו כי ) (F SL n (F ) GL n היא תת חבורה. קוראים לה החבורה הלינארית המיוחדת מדרגה n. הוכחה. ניעזר בקריטריון המקוצר לתת חבורה..1 ברור כי ) (F,I n SL n כי = 1 n.det I.2 נניח ) (F.A, B SL n צ ל ) (F.AB 1 SL n אכן, det ( AB 1) = det A det B 1 = det A det B = 1 1 = 1 ולכן ) (F.AB 1 SL n לפי הקריטריון המקוצר, ) (F SL n היא תת חבורה של ) (F.GL n 5 סדר של איבר וסדר של חבורה הגדרה 5.1. תהי G חבורה. נגדיר את הסדר (order) של G להיות עוצמתה כקבוצה. במילים יותר גשמיות, כמה איברים יש בחבורה. סימונים מקובלים: G או.Ord(G) צורת רישום 5.2. בחבורה כפלית נסמן את החזקה החיובית a n = aa... a לכפל n פעמים. בחבורה חיבורית נסמן.na = a + + a חזקות שליליות הן חזקות חיוביות של ההופכי של a. מוסכם כי a. 0 = e 12
הגדרה 5.3. תהי (e,g), חבורה ויהא איבר g. G הסדר של איבר הוא המספר הטבעי n הקטן ביותר כך שמתקיים g. n = e אם אין n כזה, אומרים שהסדר של g הוא אינסוף. בפרט, בכל חבורה הסדר של איבר היחידה הוא 1, וזהו האיבר היחיד מסדר.1 סימון מקובל o(g) = n ולפעמים. g דוגמה.5.4 בחבורה +), 6.o (1) = o (5) = 6,o (3) = 2,o (2) = o (4) = 3,(Z דוגמה.5.5 נסתכל על החבורה ), 10.(U נזכור כי 9} {1, 3, 7, = 10 U (כי אלו המספרים הזרים ל- 10 וקטנים ממנו). נחשב את (7) o: 7 2 = 49 9 (mod 10) 7 3 = 7 7 2 7 9 = 63 3 (mod 10) 7 4 = 7 7 3 = 7 3 = 21 1 (mod 10) ולכן = 4 (7).o דוגמה.5.6 נסתכל על )), (R) (GL ( 2 חבורת המטריצות ההפיכות מגודל 2 2 מעל.R 0 1 :b = נחשב את הסדר של 1 1 ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 1 1 b 2 = = I 1 1 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 1 0 b 3 = b b 2 = = = I 1 1 1 0 0 1 לכן = 3 (b).o תרגיל.5.7 תהי G חבורה. הוכיחו שלכל.o (a) = o (a 1 ),a G הוכחה. נחלק לשני מקרים: מקרה.1 נניח < n.o (a) = לכן.a n = e ראשית, e = e n = ( a 1 a ) n = ( a 1) n a n = ( a 1) n e = ( a 1 ) n כאשר המעבר מבוסס על כך ש- a ו- 1 a מתחלפים (באופן כללי, n (ab).o (a 1 ) n = o (a) ולכן,(a 1 ) n = הוכחנו ש- e.(a n b n כעת, צריך להוכיח ( את אי-השוויון השני. אם נחליף את a ב- 1 a, נקבל ) 1 (a.o (a) = o (a 1 ) 1) < o לכן יש שוויון. מקרה.2 נניח = (a),o ונניח בשלילה < ) 1 (a.o לפי המקרה הראשון,.o (a 1 ) < וקיבלנו סתירה. לכן,o (a) = o (a 1 ) < 13
6 חבורות ציקליות הגדרה 6.1. תהי G חבורה, ויהי a. G תת החבורה הנוצרת על ידי a היא תת החבורה a = { a k k Z } דוגמה.6.2 עבור. n = {kn k Z} = nz,n Z הגדרה 6.3. תהי G חבורה ויהי איבר a. G אם a G, = אזי נאמר כי G נוצרת על ידי a ונקרא ל- G חבורה ציקלית (מעגלית). דוגמה 6.4. החבורה (+,Z) נוצרת על ידי 1, שכן כל מספר ניתן להצגה ככפולה (כחזקה) של 1. שימו לב כי יוצר של חבורה ציקלית לא חייב להיות יחיד, למשל גם 1 יוצר את.Z דוגמה.6.5 החבורה 1 = +), n (Z היא ציקלית. וודאו כי בחבורה +), 2 (Z יש רק יוצר אחד (נניח על ידי טבלת כפל). וודאו כי בחבורה (+, 10 Z) יש ארבעה יוצרים. שניים די ברורים (1 וגם 9 1 ), האחרים (7,3) דורשים לבינתיים בדיקה ידנית. במילים, הסדר של איבר הוא גודל אזי a o. (a) = הערה 6.6. יהי a. G תת החבורה שהוא יוצר. טענה 6.7. שימו לב כי הסדר של יוצר בחבורה ציקלית הוא סדר החבורה. כלומר אנחנו יודעים כי +), 10 (Z 5 אינו יוצר כי הסדר שלו הוא 10 Z = 10 < 2 =, 5 שהרי.5 + 5 0 (mod 10) טענה 6.8. כל חבורה ציקלית היא אבלית. הוכחה. תהי G חבורה ציקלית, ונניח כי a.g = יהיו.g 1, g 2 G צ ל.g 1 g 2 = g 2 g 1 G ציקלית, ולכן קיימים i, j שעבורם g 1 = a i ו-.g 2 = a j מכאן שמתקיים g 1 g 2 = a i a j = a i+j = a j+i = a j a i = g 2 g 1 דוגמה 6.9. לא כל חבורה אבלית היא ציקלית. למשל, נסתכל על {7,1},3,5 = 8 U. זו לא חבורה ציקלית, כי אין בחבורה הזו איבר מסדר 4 (כל האיברים שאינם 1 הם מסדר 2 בדקו). דוגמה 6.10. קבוצת שורשי היחידה מסדר n מעל C היא { Ω n = {z C z n = 1} = cis 2πk } n k = 0, 1,..., n 1 זו תת חבורה של.C יותר מכך: אם נסמן,ω n = cis 2π n נקבל n,ω n = ω כלומר Ω n 14 היא חבורה ציקלית.
טענה 6.11. הוכיחו: אם G ציקלית, אז כל תת חבורה של G היא ציקלית. הוכחה. תהי H G תת חבורה. נסמן a G. = כל האיברים ב- G הם מהצורה a, i ולכן גם כל האיברים ב- H הם מהצורה הזו. יהי s N המספר המינימלי שעבורו.a s H נרצה להוכיח s.h = a אכן, יהי k N שעבורו a. k H לפי משפט החילוק עם שארית, קיימים q ו- r שעבורם r < s,k = qs + r.0 לכן, a k = a qs+r = a qs a r = (a s ) q a r במילים אחרות,.a r = a k (a s ) q אבל,a s, a k H ולכן גם a r H (סגירות לכפל ולהופכי). אם 0,r קיבלנו סתירה למינימליות של s כי a r H וגם < r < s 0 (לפי בחירת.(r לכן, = 0.r כלומר,,k = qs ומכאן.s k לכן s,a k a כדרוש. מסקנה.6.12 תת החבורות של +) (Z, הן בדיוק +) (nz, עבור {0} N.n טענה 6.13 (מההרצאה). תהי G חבורה, ויהי.a G אם,a n = e אזי.o (a) n תרגיל.6.14 תהי G חבורה, ויהי.a G נניח < n.o (a) = הוכיחו שלכל d n טבעי, o ( a d) = n (d, n) = o (a) (d, o (a)) ( a d ) n (d,n) = (a n ) d (d,n) = e הוכחה. היתכנות: נשים לב כי d (הפעולות שעשינו חוקיות, כי Z ). (d, n) ( a d) t, כלומר.a dt = e לפי טענה,6.13.n dt לכן, גם ( ) מינימליות: נניח = e n. (d, n), d n (שניהם מספרים שלמים מדוע?). מצד שני, = 1 (d, n) (d, n) dt (d, n) n לפי תרגיל שהוכחנו בתרגול הראשון, t, כמו שרצינו. (d, n) =.Ω הוכיחו: תרגיל 6.15 (אם יש זמן). נגדיר Ω n n=1.c היא תת חבורה של Ω.1.2 לכל Ω o (x) <,x (כלומר: כל איבר ב- Ω הוא מסדר סופי). 15.3 Ω אינה ציקלית.
פתרון. לחבורה כזו, שבה כל איבר הוא מסדר סופי, קוראים חבורה מפותלת..1 ניעזר בקריטריון המקוצר. יהיו Ω.g 1, g 2 לכן קיימים m, n שעבורם 1 g.g 2 Ω n,ω m נכתוב g 1 = cis 2πk m, g 2 = cis 2πl n g 1 g2 1 = cis 2πk ( cis 2πl ) 1 = cis 2πk ( m n m cis 2πl ) ( 2πk = cis n m 2πl ) = n ( ) 2π (kn lm) = cis Ω mn Ω mn לכן.2 לכל Ω x קיים n שעבורו ;x Ω n לכן,.o (x) n.3 נניח בשלילה a ;Ω = לכן בהכרח.o (a) = Ω = ℵ 0 אבל זה סותר את תוצאת סעיף ב. תרגיל 6.16 (אם יש זמן). תהי G חבורה ציקלית מסדר n. כמה איברים ב- G יוצרים את G? G = a k o ( a k) = n n (k, n) פתרון. נניח כי a G. = אזי = n (k, n) = 1 לכן, מספר האיברים היוצרים את G הוא n U. 7 מכפלה קרטזית של חבורות הגדרה 7.1. תהיינה (,G) ו-(,H) חבורות. ניזכר ממתמטיקה בדידה כי G H = {(g, h) g G, h H} נגדיר פעולה על G H רכיב-רכיב, כלומר: (g 1, h 1 ) (g 2, h 2 ) = (g 1 g 2, h 1 h 2 ) טענה.7.2 ) H, (G היא חבורה. למשל, האיבר הניטרלי ב- H G הוא ) H.(e G, e 16
דוגמה 7.3. נסתכל על U. 8 Z 3 נדגים את הפעולה: (3, 2) (5, 2) = (3 5, 2 + 2) = (15, 4) = (7, 1) (5, 1) (7, 2) = (5 7, 1 + 2) = (35, 3) = (3, 0) האיבר הניטרלי הוא (0,1). תרגיל.7.4 האם Z n Z n ציקלית (עבור 2?(n פתרון. לא! נוכיח שהסדר של כל איבר,a) (b Z n Z n הוא לכל היותר n: אכן, (a, b) n = (a, b) (a, b) (a, b) = (a + a + + a, b + b + + b) = (na, nb) = (0, 0) כיוון שהסדר הוא המספר המינימלי m שעבורו 0) (0, = m,(a, b) בהכרח.m n כלומר, הסדר של כל איבר ב- Z n Z n הוא לכל היותר n. כעת, נסיק כי החבורה הזו אינה ציקלית: כזכור מבדידה, Z. n Z n = n 2 אילו החבורה Z n Z n הייתה ציקלית, היה בה איבר מסדר n; 2 אך אין כזה, ולכן החבורה אינה ציקלית. הערה 7.5. התרגיל הקודם אומר שמכפלה של חבורות ציקליות אינה בהכרח ציקלית. לעומת זאת, מכפלה של חבורות אבליות תישאר אבלית (תוכיחו בבית). הערה 7.6. מעכשיו, במקום לסמן את הפעולה של G H ב-, נסמן אותה בשביל הנוחות. 8 החבורה הסימטרית (על קצה המזלג) הגדרה 8.1. החבורה הסימטרית מדרגה n היא S n = {σ : {1, 2,..., n} {1, 2,..., n} σ is bijective} זהו אוסף כל ההעתקות החח ע ועל מהקבוצה {n,...,2,1} לעצמה, ובמילים אחרות אוסף כל שינויי הסדר של המספרים {n S n,1}.,2..., היא חבורה, כאשר הפעולה היא הרכבת פונקציות. איבר היחידה הוא פונקציית הזהות. כל איבר של S n נקרא תמורה. הערה 8.2 (אם יש זמן). החבורה S n היא בדיוק חבורת ההפיכים במונואיד X X עם פעולת ההרכבה, כאשר n}.x = {1, 2,..., דוגמה.8.3 ניקח לדוגמה את.S 3 איבר σ S 3 הוא מהצורה σ (2) = j,σ (1) = i ו- k,σ (3) = כאשר 3} {1, 2, k i, j, שונים זה מזה. נסמן בקיצור ( ) 1 2 3 σ = i j k 17 נכתוב במפורש את האיברים ב- S: 3
( ) 1 2 3.id = 1 2 3 ( ) 1 2 3.τ = 2 1 3 ( ) 1 2 3.σ = 2 3 1 ( ) 1 2 3.σ 2 = σ σ = 3 1 2 ( ) 1 2 3.στ = σ τ = 3 2 1 ( ) 1 2 3.τσ = τ σ = 1 3 2.1.2.3.4.5.6 נשים לב ש- S 3 אינה אבלית, כי.στ τσ הערה 8.4. נשים לב כי!n S. n = אכן, מספר האפשרויות לבחור את (1) σ הוא n; אחר כך, מספר האפשרויות לבחור את (2) σ הוא 1 n; כך ממשיכים, עד שמספר האפשרויות לבחור את (n) σ הוא 1 האיבר האחרון שלא בחרנו. בסך הכל, = n S.n (n 1) 1 = n! הגדרה 8.5. מחזור (או עגיל) ב- S n הוא תמורה המציינת מעגל אחד של החלפות של מספרים שונים: a 1 a 2 a 3... a k a 1 (ושאר המספרים נשלחים לעצמם). כותבים את התמורה הזו בקיצור ) k.(a 1 a 2... a האורך של המחזור ) k (a 1 a 2... a הוא k. ( ) 1 2 3 4 5. S, המחזור (2 4) 5 מציין את התמורה 1 4 3 5 2 דוגמה 8.6. ב- 5 משפט 8.7. כל תמורה ניתנת לכתיבה באופן יחיד כהרכבת מחזורים זרים, כאשר הכוונה ב מחזורים זרים היא מחזורים שאין לאף זוג מהם איבר משותף. הערה 8.8. שימו לב שמחזורים זרים מתחלפים זה עם זה (מדוע?), ולכן חישובים עם מחזורים יהיו לעיתים קלים יותר מאשר חישובים עם התמורה עצמה. ( ) 1 2 3 4 5 6 7 =.σ כדי :S דוגמה.8.9 נסתכל על התמורה הבאה ב- 4 7 3 1 5 2 6 7 לכתוב אותה כמכפלת מחזורים זרים, לוקחים מספר, ומתחילים לעבור על המחזור המתחיל בו. למשל: 1 4 1 18
אז בכתיבה על ידי מחזורים יהיה לנו את המחזור (4 1). כעת ממשיכים כך, ומתחילים ממספר אחר: 2 7 6 2 אז נקבל את המחזור (6 2) 7 בכתיבה. נשים לב ששאר המספרים הולכים לעצמם, כלומר 3,3 5,5 ולכן σ = (1 4) (2 7 6) נחשב את σ. 2 אפשר ללכת לפי ההגדרה, לעבור על כל מספר ולבדוק לאן σ 2 תשלח אותו; אבל, כיוון שמחזורים זרים מתחלפים, נקבל σ 2 = ((1 4) (2 7 6)) 2 = (1 4) 2 (2 7 6) 2 = (2 6 7) תרגיל.8.10 יהי σ S n מחזור מאורך.k מהו (σ)?o פתרון. נסמן ) k σנוכיח = (a 1 a 2... a כי.o (σ) = k ראשית, ברור כי :σ k = id לכל a i מתקיים σ k (a i ) = σ k 1 (a i+1 ) = = σ (a i 1 ) = a i ולכל σ k (m) = m,m a i (כי.(σ (m) = m נותר להוכיח מינימליות; אבל אם,l < k אפשר להשתכנע כי,σ l (a 1 ) = a l+1 a 1 כלומר.σ l id 9 מחלקות הגדרה.9.1 תהי G חבורה, ותהי H G תת חבורה. לכל,g G נגדיר: מחלקה שמאלית G.gH = {gh h H} מחלקה ימנית H}.Hg = {hg h את אוסף המחלקות השמאליות נסמן.G/H דוגמה 9.2. ניקח את G, = S 3 ונסתכל על תת החבורה H = (1 2 3) = {id, (1 2 3), (1 3 2)} המחלקות השמאליות של H ב- G : id H = {id, (1 2 3), (1 3 2)} (1 2) H = {(1 2), (2 3), (1 3)} (1 3) H = {(1 3), (1 2), (2 3)} = (1 2) H (2 3) H = {(2 3), (1 3), (1 2)} = (1 2) H (1 2 3) H = {(1 2 3), (1 3 2), id} = id H (1 3 2) H = {(1 3 2), id, (1 2 3)} = id H S 3 /H = {id H, (1 2) H} לכן 19
דוגמה 9.3. ניקח את (+,Z) G, = ונסתכל על המחלקות השמאליות של H: = 5Z 0 + H = H = {..., 10, 5, 0, 5, 10,... } 1 + H = {..., 9, 4, 1, 6, 11,... } 2 + H = {..., 8, 3, 2, 7, 12,... } 3 + H = {..., 7, 2, 3, 8, 13,... } 4 + H = {..., 6, 1, 4, 9, 14,... } 5 + H = {..., 5, 0, 5, 10, 15,... } = H 6 + H = 1 + H 7 + H = 2 + H וכן הלאה. בסך הכל, יש חמש מחלקות שמאליות של 5Z ב- Z, וכן Z/5Z = {H, 1 + H, 2 + H, 3 + H, 4 + H} דוגמה.9.4 ניקח את +), 8,G = (Z ונסתכל על 6} {0, 2, 4, = 2 =.H המחלקות השמאליות הן 0 + H = H, 1 + H = {1, 3, 5, 7}, 2 + H = H a + H = { H, if a 0 (mod 2) 1 + H, if a 1 (mod 2) ובאופן כללי, נשים לב ש:.G = H 1 + H הערה 9.5. כפי שניתן לראות מהדוגמאות שהצגנו, המחלקות השמאליות (או הימניות) של H יוצרות חלוקה של G. נוסף על כך, יחס השוויון בין המחלקות הנוצרות ע י שני איברים ב G הינו יחס שקילות. כלומר עבור a, b G ותת חבורה,H G יחס השוויון ah = bh הינו יחס שקילות בין a ו b. נסכם זאת בעזרת המשפט הבא: משפט.9.6 תהי G חבורה, ותהי H G תת חבורה. a, b G אזי a H ah = H בפרט,b 1 a H אם ורק אם: ah = bh.1.2 לכל שתי מחלקות g 1 H ו- H,g 2 מתקיים g 1 H = g 2 H או = H.g 1 H g 2.3 מתקיים H. ah = bh = g G, וזהו איחוד זר. 4. האיחוד של כל המחלקות הוא כל gh = G G; 20
הוכחה. נוכיח את 1: :( ) אם ah = bh אזי לכל.ah bh,h H בפרט עבור איבר היחידה,a = bh 0 H כך ש h 0 H מכאן נובע שקיים.a = ae bh לכן בהכרח.b 1 a = h 0 H :( ) נניח ש:,b 1 a H אזי קיים,h 0 H כך ש:,b 1 a = h 0 לכן:.a = bh 0 עתה, לכל h H מתקיים ש:,ah = bh 0 h bh לכן:.aH bh אבל אם.bH ah ונקבל באותו אופן ש, b = ah 1 o אזי,a = bh 0 לכן בהכרח:.bH = ah הערה 9.7. קיימת התאמה חח ע ועל בין המחלקות השמאליות {G {gh : g לימניות.(Hg g 1 H), {Hg : g G} gh (gh) 1 = { (gh) 1 : h H } = {h 1 g 1 : h H} = {kg 1 : k H} = Hg 1 לכן מס המחלקות השמאליות = מספר המחלקות הימניות. הגדרה 9.8. נסמן את מספר המחלקות של H ב- G בסימון [H G]. : מספר זה נקרא האינדקס של H ב- G. דוגמה 9.9. על פי הדוגמאות שראינו: [Z : 5Z] = 5.1 [S 3 : (1 2 3) ] = 2.2 [Z 8 : 2 ] = 2.3 תרגיל.9.10 מצאו חבורה G ותת חבורה,H G כך ש- = H].[G : פתרון. תהי +) (Q, G = ותת חבורה.H = Z ניקח שני שברים שונים מ- Q בין 0 ל- 1 : α, 1, α 2 ונתבונן במחלקות שאיברים אלו יוצרים. נקבל ש- {α 1, ±1 + α 1, ±2 + α 1,... } = α 1 H α 2 H = {α 2, ±1 + α 2, ±2 + α 2,... } ולכן, מספר המחלקות של H ב- G הוא לפחות ככמות המספרים ב- Q בין 0 ל- 1 שהיא אינסופית. משפט 9.11 (לגרנז ). תהי G חבורה, ותהי H G תת חבורה. אז H] H. G = [G : מסקנה 9.12. עבור חבורה סופית, הסדר של תת חבורה מחלק את הסדר של החבורה: G H = [G : H] בפרט, עבור a = a,a G ו- G a כי. a G לכן הסדר של כל איבר בחבורה מחלק את הסדר של החבורה. במילים אחרות, לכל a G מתקיים a. G = e 21
דוגמה 9.13. עבור = 10 10 Z, הסדרים האפשריים של איברים ב Z 10 הם מהקבוצה.{1, 2, 5, 10} תרגיל 9.14. האם לכל מספר m המחלק את סדר החבורה הסופית G בהכרח קיים איבר מסדר m? פתרון. לא בהכרח! דוגמה נגדית: נבחן את החבורה Z. 4 Z 4 סדר החבורה הינו 16 אבל לא קיים איבר מסדר 16. אילו היה קיים איבר כזה, אזי זו חבורה ציקלית, אבל הוכחנו שהחבורה Z n Z n אינה ציקלית עבור > 1 n. משפט 9.15 (משפט אוילר). פונקציית אוילר φ : N N מוגדרת לפי n.φ(n) = U עבור.a φ(n) = 1 (mod n),a U n דוגמה = 1.9.16 10),(3, לכן U 10.3 מאחר ש-{ 9 {1, 3, 7, = 10,U אזי = φ(10). U 10 = 4 אכן מתקיים: 10).3 φ(10) = 3 4 = 81 = 1 (mod משפט 9.17. המשפט הקטן של פרמה (כמקרה פרטי של משפט אוילר): עבור p ראשוני מתקיים 1 p, U p = לכן לכל a U p מתקיים ש 1) (p, a ובפרט p).a p 1 = 1 (mod תרגיל 9.18. חשב את שתי הספרות האחרונות של המספר 909. 121 פתרון. נזכר ש modn הינו יחס שקילות מכיוון ש-( 100 (mod 9 909, אזי נוכל לחשב :9 121 כיוון ש- 1 = 100),(9, אזי על פי משפט אוילר: 100).9 φ(100) = 9 40 = 1 (mod מכאן ש-( 100 (mod 9 9 3 1 9 3 ) 40 (9 = 121 9 דוגמה.9.19 תהי G חבורה מסדר p ראשוני. יהי.e g G לכן > 1. g מצד שני, g G = p לכן בהכרח, g = p מה שאומר ש: g.g = מאחר וזה נכון לכל e, g G נסיק ש- G נוצרת ע י כל אחד מאיבריה שאינו היחידה. טענה.9.20 תהי x G = חבורה ציקלית מסדר n ויהי y = x d כאשר > 0,d אזי = y (ראה תרגיל 6.14 עבור ההוכחה.) n (d,n) דוגמה.9.21 +), 12,(Z חבורה ציקלית מסדר 12 הנוצרת ע י = 1.x n אם ניקח = 8 x8,y = (d,n) (8,12) 4 אזי נקבל : 3 = 12 = 12 =. מצד שני, על מנת לחשב את הסדר של y, נבדוק מהי תת החבורה הנוצרת ע י y:. 8 = {0, 8, 4} (Z 12, +) ואכן = 3 8 = 8 =. y 22
. y = n כלומר (d,n) = n 1 מסקנה.9.22 בסימונים שלעיל, אם = 1 d) (n, אזי = n.g = y מכאן נסיק שבחבורה ציקלית, כל איבר שחזקתו זרה למספר איברי החבורה - יוצר את החבורה. לכן מספר היוצרים בחבורה ציקלית מסדר n הוא כמספר המספרים השלמים הזרים ל- n. כלומר מספר היוצרים הוא בדיוק φ(n) (פונקציית אוילר). טענה 9.23. תהי α G = ציקלית מסדר n, ויהי.m n אזי ל G יש תת חבורה ציקלית יחידה מסדר m..h = α n /m זוהי תת חבורה מסדר.m תהי K תת חבורה ציקלית הוכחה. נסמן נוספת מסדר m, ונניח β K. = נרצה להוכיח ש- H K. = מאחר ש- α יוצר של G, קיים b Z כך ש- β. = α b לכן על פי הטענה הקודמת, s, t Z לפי תכונת הממ מ קיימים.(n, b) = n m. β = n (n,b) אבל β = m כך ש.(n, b) = sn + tb לכן =.m לכן n (n,b) α n /m = α (n,b) = α sn+tb = (α n ) s (α b ) t = 1 β t K אבל על פי ההנחה K, H = לכן,α n /m לכן.H K כלומר קיבלנו ש- K,H = K כדרוש. תרגיל 9.24. כמה תת חבורות לא טריוויאליות יש ב- Z? 30 (לא טריוויאלית פירושו לא כולל את {0} ואת Z.) 30 על פי התרגיל, מאחר ומדובר בחבורה ציקלית, מספר תת החבורות הוא כמספר המחלקים של המספר,30 כלומר: = 8 30}. {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, מאחר והסדרים 1 ו- 30 מתאימים לתת החבורות הטרוויאליות, נותרנו עם שש תת חבורות לא טריוויאליות. 10 חישוב פונקציית אוילר לצורך פתרון התרגיל הבא נפתח נוסחה נוחה לחישוב (n) φ, כלומר, בהנתן מספר שלם כלשהו, נוכל לחשב את מספר המספרים הקטנים ממנו בערך מוחלט וזרים לו. על פי המשפט היסודי של האריתמטיקה, כל מספר שלם ניתן לפרק למכפלת חזקות של מספרים ראשוניים (עד כדי סדר וסימן). כלומר n = p k 1 1 p k 2 2 p k m m כעת נתבונן בנפרד בפונקציית אוילר של חזקה של מספר ראשוני כלשהו במכפלה, שאותם קל לחשב: φ ( p k) ( = p k p k 1 = p k 1 (p 1) = p k 1 1 ) p 23
ולכן, עבור מספר שלם כלשהו: φ (n) = φ ( ) ( p k 1 1 p k 2 2... p k m m = φ p k 1 ) ( 1 φ p k 2 ) ( 2... φ p k m ) ) ) m ) = p k 1 1 p k 2 2... p km m (1 (1 1p1 1p2... (1 1pk ) ) ) = n (1 (1 1p1 1p2... (1 1pk φ (n) = n ) ) ) (1 (1 1p1 1p2... (1 1pk ולסיכום φ (60) = 60 ( 1 1 ) ( 1 1 2 3 דוגמה 10.1. נחשב את (60) φ: ) = 16 ) ( 1 1 5 תרגיל 10.2. חשבו את שתי הספרות האחרונות של 80732767. 1999 + 2013 פתרון. נפעיל mod100 ונקבל 80732767 1999 + 2013 67 1999 + 13 = 67 50 40 1 + 13 = ( 67 40) 50 67 1 + 13 = ( 67 φ(100)) 50 67 1 + 13 (1) 50 67 1 + 13 = 67 1 + 13 כעת נותר למצוא את ההופכי של 67 בחבורה (67 U 100 זר ל- 100 ולכן נמצא ב- U). 100 לצורך כך, נשתמש באלגוריתם של אוקלידס לצורך מציאת פתרון למשוואה.67x = 1 (mod 100) יש פתרון למשוואה אם ורק אם קיים k Z כך ש- 1 = 67x 100k. + בעזרת אלגוריתם אוקלידס נמצא ביטוי של (67,100) gcd כצירוף לינארי של 67 ו- 100 : (100, 67) = [100 = 1 67 + 33] (67, 33) = [67 = 2 33 + 1] (33, 1) = 1 ומהצבה לאחור נקבל: 67 3 100 + 2 = 33 2 = 67,1 ולכן = 3,x כלומר ההופכי של 67 הוא 3. לכן = 16 13 = 3 + 13.67 1 + כלומר שתי הספרות האחרונות הם.16 תרגיל 10.3. הוכיחו את הטענה הבאה: תהא G חבורה סופית, אזי G מסדר זוגי קיים ב- G איבר מסדר 2. ( ): על פי משפט לגרנז, הסדר של איבר מחלק את סדר החבורה ולכן סדר החבורה זוגי. 24
( ): לאיבר מסדר 2 תכונה יחודית - הוא הופכי לעצמו. נניח בשלילה שאין אף איבר ב- G מסדר שני, כלומר שאין אף איבר שהופכי לעצמו (למעט איבר היחידה כמובן). אזי, ניתן לסדר את כל איברי החבורה - זוגות זוגות, כאשר כל איבר מזווג לאיבר ההופכי לו. ביחד עם איבר היחידה נקבל מספר אי זוגי של איברים ב G בסתירה להנחה. מסקנה 10.4. לחבורה מסדר זוגי יש מספר אי זוגי של איברים מסדר 2. 11 תת חבורה הנוצרת על ידי איברים הגדרה 11.1. תהי G חבורה ותהי A G תת קבוצה לא ריקה איברים ב G (שימו לב ש A אינה בהכרח תת חבורה של G). תת החבורה נוצרת ע י A הינה תת החבורה המינימלית המכילה את A ונסמנה. A אם A G = אז נאמר ש G נוצרת ע י A. עבור קבוצה סופית של איברים, נכתוב k. x 1,..., x נשים לב שעבור קבוצה סופית של יוצרים, הגדרה זו מהווה הכללה לכתיבה של חבורה ציקלית הנוצרת על ידי איבר אחד. דוגמה.11.2 ניקח Z 3} {2, ואת 3 2, =.H נוכיח ש- Z.H = H תת חבורה של Z ובפרט H. Z נראה שגם Z, H ומזה נסיק שוויון. כיוון ש- H 2 אזי גם H ( 2) ומכאן ש- H 1 = 3 +.( 2) כלומר איבר היחידה שהוא כידוע היוצר של כל Z, מוכל ב. H לכן נקבל: H Z = 1 H.1 כלומר, Z H ומכאן נובע השוויון.H = Z דוגמה.11.3 אם ניקח Z 6} {4, אזי נקבל: Z} {4n + 6m : m, n = 6. 4, נטען ש- 2Z = gcd (4, 6) Z = 6 4, (כלומר תת חבורה של השלמים המכילה רק את המספרים הזוגיים). נוכיח על ידי הכלה דו כיוונית. :( ) ברור ש- 6n 2 4m + ולכן 2Z 6. 4, :( ) יהי.2k 2Z אזי 6 4, 6k.2k = 4 ( k) + לכן מתקיים גם: 2Z. 4, 6 דוגמה 11.4. במקרה שהחבורה אבלית, קל יותר לתאר את תת החבורה הנוצרת. למשל אם ניקח שני יוצרים a, b G נקבל: Z}. a, b = {a i b j : i, j כלומר בזכות החילופיות, ניתן לסדר את כל ה- a -ים יחד וכל ה- b -ים יחד. נדגים לאיבר הנוצר על ידי a ו- b :.abaaab 1 bbba 1 = a 3 b 3 באופן כללי, בחבורה אבלית מתקיים: a 1..., a n = { a k 1 1...a k n n : 1 i n, k i Z } 25
דוגמה 11.5. נוח לעיתים לחשוב על איברי A בתור קבוצת מילים שניתן לכתוב באמצעות האותיות בקבוצה (היוצרים ב A). נסביר: נגדיר את הא ב שלנו להיות 1 A A כאשר A}.A 1 = {a 1 : a כעת, מילה היא סדרה סופית של אותיות מה-א ב. המילה הריקה מייצגת כאן את איבר היחידה ב G. 12 החבורה הדיהדרלית נציג חבורה חשובה נוספת שמקורה גאומטרי: החבורה הדיהדרלית. הגדרה 12.1. עבור מספר טבעי n, הקבוצה D n של סיבובים ושיקופים המעתיקים מצולע משוכלל בין n צלעות על עצמו, היא החבורה הדיהדרלית, יחד עם פעולת ההרכבה. אם σ הוא סיבוב ב 2π ו- τ הוא שיקוף סביב ציר סימטריה כלשהו, אז: n D n = σ, τ : σ n = τ 2 = id, στ = τσ n 1 צורת תיאור זו נקראת תיאור חבורה על ידי יוצרים ויחסים. דוגמה 12.2. החבורה D 3 כוללת איברים המייצגים את כל הקומבינציות של סיבוב של 120, 0 המסומן באות σ, ושיקוף המסומן באות τ, על משולש שווה צלעות. D 3 = σ, τ : σ 3 = τ 2 = id, στ = τσ 2 כעת נתאר במפורש את כל איברי D: 3 D 3 = { id, σ, σ 2, τ, τσ, τσ 2} הערה 12.3. שימו לב שאמנם האיבר στ לא מופיע בתאור ששת האיברים אך על פי היחס שהוגדר,στ = τσ 2 לכן האיבר נמצא בחבורה, אך מתואר בכתיבה שונה. הערה 12.4. בהמשך להערה הקודמת, נשים לב ש- στ ו- τσ הם שני איברים שונים זה מזה (גזור משולש שווה צלעות, סמן את קודקודיו, ואז: פעם אחת שקף את המשולש ואח כ סובב, ובפעם השניה סובב ואח כ שקף ותיווכח שהמצב הסופי שבו מונח המושלש שונה בשני המקרים). כלומר החבורה D 3 אינה אבלית, ובאופן כללי, כל D n אינה אבלית עבור 3 n. הערה 12.5. סדר החבורה D 3 הינו 6. לכל n, הסדר של D n הינו 2n. 13 נושאים נוספים בחבורה הסימטרית 13.1 סדר של איברים בחבורה הסימטרית נחזור לחקור את החבורה הסימטרית S. n 26
הערה.13.1 תזכורת: עבור מחזור σ מאורך k מתקיים:.o (σ) = k טענה 13.2. (מופיעה כתרגיל בית בדף עבודה מס 5) תהי G חבורה. יהי a, b G כך ש ab = ba וגם a b = e (כלומר החיתוך בין תת החבורה הציקלית הנוצרת ע י a ותת החבורה הציקלית הנוצרת ע י b היא טריוויאלית). אז o (ab) = lcm (o(a), o(b)) מסקנה 13.3. סדר מכפלות מחזורים זרים ב- S n הוא הכמ מ (lcm) של סדרי המחזורים. דוגמה 13.4. הסדר של (56) (123) הוא 6 והסדר של (56) (1234) הוא 4. תרגיל 13.5. מצאו תת חבורה מסדר 45 ב- S. 15 פתרון. נמצא תמורה מסדר 45 ב- S. 15 נתבונן באיבר σ = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) (10, 11, 12, 13, 14) ונשים לב כי = 45 5] [9, = (σ).o כעת, מכיוון שסדר האיבר שווה לסדר תת החבורה שאיבר זה יוצר, נסיק שתת החבורה σ עונה על הדרוש. שאלה 13.6. האם קיים איבר מסדר 39 ב- S? 15 פתרון. לא. וזאת מכיוון שאיבר מסדר 39 לא יכול להתקבל כמכפלת מחזורים זרים ב.S 15 אמנם ניתן לקבל את הסדר 39 כמכפלת מחזורים זרים, האחד מאורך 13 והאחר מאורך, 3 אבל = 16 3 13 + ולכן, זה בלתי אפשרי ב-.S 15 13.2 הצגת מחזור כמכפלת חילופים הגדרה 13.7. מחזור מסדר 2 ב- S n נקרא חילוף. טענה.13.8 כל מחזור ) r (a 1, a 2,..., a ניתן לרשום כמכפלת חילופים (a 1, a 2,..., a r ) = (a 1, a 2 ) (a 2, a 3 )... (a r 1, a r ) S n = (i, j) : 1 i, j n לכן: תרגיל.13.9 כמה מחזורים מאורך r n 2 יש בחבורה?S n ( n אפשרויות כאלה. r) פתרון. זו שאלה קומבינטורית. בוחרים r מספרים מתוך n ויש כעת יש לסדר את r המספרים ב!r דרכים שונות. אבל ספרנו יותר מידי אפשרויות, כי יש r מחזורים זהים, נסביר: (a 1,..., a r ) = (a 2,..., a r, a 1 ) = = (a r, a 1,..., a r 1 ) לכן נחלק את המספר הכולל ב- r ונקבל מספר המחזורים מאורך r ב- S n הינו:. ( n r) (r 1)! 27
תרגיל 13.10. מה הם הסדרים האפשריים לאיברי S? 4 פתרון. ב- S 4 הסדרים האפשריים הם: 1. סדר - 1 רק איבר היחידה. 2. סדר - 2 חילופים (j,i) או מכפלה של שני חילופים זרים, למשל (34) (12)..3 סדר - 3 מחזורים מאורך,3 למשל.(243).4 סדר - 4 מחזורים מאורך,4 למשל.(2431) וזהו! כלומר הצלחנו למיין בצורה פשוטה ונוחה את כל הסדרים האפשריים ב- S. 4 תרגיל 13.11. מה הם הסדרים האפשריים לאיברי S? 5 1. סדר - 1 רק איבר היחידה. 2. סדר - 2 חילופים (j,i) או מכפלה של שני חילופים זרים..3 סדר - 3 מחזורים מאורך.3.4 סדר - 4 מחזורים מאורך.4.5 סדר - 5 מחזורים מאורך.5 6. סדר - 6 מכפלה של חילוף ומחזור מאורך 3, למשל (54) (231). וזהו! שימו לב שב- S n יש איברים מסדר שגדול מ- n עבור 5 n. 13.3 סימן של תמורה וחבורת החילופין (חבורת התמורות הזוגיות) הגדרה 13.12. יהי σ מחזור מאורך k, אזי הסימן שלו הוא: sign (σ) = ( 1) k 1 sign (στ) = sign (σ) sign (τ) ועבור התמורות τ, σ S n מתקיים: תכונה זו מאפשרת לחשב את הסימן של כל תמורה ב- S. n נקרא לתמורה שסימנה 1 בשם תמורה זוגית ולתמורה שסימנה 0 בשם תמורה אי זוגית. דוגמה 13.13. (נקודה חשובה ומאוד מבלבלת) 1. החילוף (35) הוא תמורה אי זוגית. 28
2. התמורה הריקה היא תמורה זוגית. 3. מחזור מאורך אי זוגי הוא תמורה זוגית. הגדרה 13.14. חבורת החילופין (חבורת התמורות הזוגיות) A n היא תת החבורה הבאה של :S n A n = {σ S n sign (σ) = 1}. A n = n! הערה 13.15. הסדר של A n הינו 2 הגדרה.13.16 (132)}, (123) {id,.a 3 = נשים לב כי (123) = 3 A כלומר A 3 ציקלית. 14 שימוש בתורת החבורות: אלגוריתם RSA נראה דוגמה להרצה של אלגוריתם RSA (על שם רון ריבסט, עדי שמיר ולאונרד אדלמן) הנלקחה מויקיפדיה. אלגוריתם RSA מממש שיטה להצפנה אסימטרית המובססת על רעיון המפתח הפומבי. המטרה: בוב מעוניין לשלוח לאליס הודעה באופן מוצפן. יצירת המפתחות: אליס בוחרת שני מספרים ראשוניים,p q באופן אקראי (בפועל מאוד גדולים). היא מחשבת את המספרים n = pq ואת 1) (q.φ(n) = (p 1) בנוסף היא בוחרת מספר e הזר ל-( φ(n שנקרא המעריך להצפנה (בפועל = 65537 2 16+1 או מספר די קטן אחר). היא מוצאת הופכי כפלי d של e בחבורה φ(n) U שיהווה את המפתח הסודי שלה. כלומר היא מוצאת מספר המקיים 1 de φ(n)),(mod למשל על ידי אלגוריתם אוקלידס המורחב. זהו שלב שאין צורך לחזור עליו. הפצת המפתח הפומבי: אליס שולחת באופן אמין, אך לא בהכרח מוצפן, את המפתח הפומבי (e,n) לבוב (או לעולם). את המפתח הסודי d היא שומרת בסוד לעצמה. גם זהו שלב שאין צורך לחזור עליו. הצפנה: בוב ישלח הודעה M לאליס בצורת מספר m המקיים m < n 0 וגם = 1 (m.gcd(n, כלומר יש רק + 1 φ(n) סוגי הודעות שונות שבוב יכול לשלוח. הוא ישלח את ההודעה המוצפנת n).c m e (mod פענוח: אליס תשחזר את ההודעה m בעזרת המפתח הסודי m c d m ed m.(mod n) דוגמה 14.1. נציג דוגמה עם מספרים קטנים מאוד. אליס תבחר למשל את = 61 p ואת = 53 q. היא תחשב n = pq = 3233 φ(n) = (p 1) (q 1) = 3120 29
היא תבחר מעריך הצפנה = 17 e, שאכן זר ל- 3120 =.φ(n) המפתח הסודי שלה הוא d e 1 2753 (mod 3120) וכדי לסיים את שני השלבים הראשונים באלגוריתם היא תפרסם את המפתח הפומבי שלה e).(n, נניח ובוב רוצה לשלוח את ההודעה = 65 m לאליס. הוא יחשב את ההודעה המוצפנת c m 17 2790 (mod 3233) וישלח את c לאליס. כעת אליס תפענח אותה על ידי חישוב m 2790 2753 65 (mod 3233) החישובים בשלבי הביניים של חזקות מודולריות יכולים להעשות בשיטות יעילות מאוד הנעזרות במשפט השאריות הסיני, או על ידי חישוב חזקה בעזרת ריבועים (שיטה הנקראת גם העלאה בינארית בחזקה). למשל לחישוב m 17 נשים לב שבסיס בינארי = 10001 2,17 ולכן במקום = 16 1 17 הכפלות מודלוריות נסתפק בחישוב: m 1 m 1 65 (mod 3233) m 2 (m) 2 992 (mod 3233) m 4 ( m 2) 2 1232 (mod 3233) m 8 ( m 4) 2 1547 (mod 3233) m 16 ( m 8) 2 789 (mod 3233) m 17 m ( m 8) 2 2790 (mod 3233) נשים לב שכאשר כפלנו ב- m (שורה ראשונה ואחרונה) זה מקביל לסיביות הדלוקות ב- 10001, 2 ואילו כאשר העלנו בריבוע, זה מקביל למספר הסיביות (פחות 1). בקיצור (m k 2 ) 2 k זוגי m k = m (m k 2 ) 2 k אי זוגי log 2 פעולות של העלאה כלומר כאשר נחשב m k עבור k כלשהו נוכל להסתפק ב- k log 2 הכפלות מודולריות, במקום 1 k הכפלות מודלוריות בריבוע ולכל היותר ב- k ב- m. בבית תדרשו לחישוב של 2790 2753 בעזרת שיטה זו. הערה 14.2 (אזהרה!). יש לדעת שלא כדאי להשתמש לצרכים חשובים בפונקציות קריפטוגרפיות שמימשתם לבד. ללא בחינה מדוקדקת על ידי מומחים בתחום לגבי רמת בטיחות ונכונות הקוד, ישנן התקפות רבות שאפשר לנצל לגבי מימושים שכאלו, כגון בחירת מפתחות לא ראויה. בנוסף יש התקפות לגבי הפרוטוקול בו משתמשים כגון התקפת אדם באמצע והתקפת ערוץ צדדי. 30
15 הומומורפיזמים הגדרה.15.1 תהינה ),(G, (H, ) חבורות. העתקה f : G H תקרא הומומורפיזם של חבורות אם מתקיים x, y G, f(x y) = f(x) f(y) נכין מילון קצר לסוגים שונים של הומומורפיזמים: 1. הומומורפיזם שהוא חח ע נקרא מונומורפיזם או שיכון. נאמר כי G משוכנת ב- H אם קיים שיכון.f : G H 2. הומומורפיזם שהוא על נקרא אפימורפיזם. נאמר כי H היא תמונה אפימורפית של G אם קיים אפימורפיזם.f : G H 3. הומומורפיזם שהוא חח ע ועל נקרא איזומורפיזם. נאמר כי G ו- H איזומורפיות אם קיים איזומורפיזם.f : G H נסמן זאת.G = H.4 איזומורפיזם f : G G נקרא אוטומורפיזם של.G 5. בכיתה נקצר את השמות של הומומורפיזם, מונומורפיזם, אפימורפיזם, איזומורפיזם ואוטומורפיזם להומ, מונו, אפי, איזו ואוטו, בהתאמה. הערה 15.2. העתקה f : G H היא איזומורפיזם אם ורק אם קיימת העתקה : g.g f = id G וגם f g = id H כך ש- H G אפשר להוכיח (נסו!) שההעתקה g הזו היא הומומורפיזם בעצמה. כלומר כדי להוכיח שהומומורפיזם f הוא איזומורפיזם מספיק למצוא העתקה הפוכה 1 f g. = אפשר גם לראות שאיזומורפיזם הוא יחס שקילות. תרגיל 15.3. הנה רשימה של כמה העתקות בין חבורות. קבעו האם הן הומומורפיזמים, ואם כן מהו סוגן:.1 R φ : R המוגדרת לפי x e x היא מונומורפיזם. מה היה קורה אם היינו מחליפים למרוכבים?.2 יהי F שדה. אז F det : GL n (F ) היא אפימורפיזם. הרי det(ab) = det(a) det(b) וכדי להוכיח שההעתקה על אפשר להסתכל על מטריצה אלכסונית עם ערכים 1),... 1, (x, באלכסון..3 R φ : R המוגדרת לפי x x אינה הומומורפיזם כלל. הראתם φ : Z 2 Ω 2 המוגדרת לפי 1,0 1 1 היא איזומורפיזם..4 בתרגיל בית שכל החבורות מסדר 2 הן למעשה איזומורפיות. 31
העובדה שהעתקה f : G H היא הומומורפיזם גוררת אחריה כמה תכונות מאוד נוחות:.f(e G ) = e H.1.n Z לכל f(g n ) = f(g) n.2 1.3 f(g),f(g 1 ) = כמקרה פרטי של הסעיף הקודם..4 הגרעין של,f כלומר } H,ker f = {g G : f(g) = e הוא תת חבורה נורמלית של G (בהמשך נסביר מה זה תת חבורה נורמלית )..5 התמונה של,f כלומר G},im f = {f(g) : g היא תת חבורה של.H.6 אם,G = H אז H. G = תרגיל 15.4. יהי f : G H הומומורפיזם. הוכיחו כי לכל g G מסדר סופי מתקיים.o(f(g)) o(g) הוכחה. נסמן o(g) n. = לפי הגדרה g. n = e G נפעיל את f על המשוואה ונקבל f(g n ) = f(g) n = e H = f(e G ) ולכן.o(f(g)) n תרגיל 15.5. האם כל שתי חבורות מסדר 4 הן איזומורפיות? פתרון. לא! נבחר G = Z 2 Z 2 ואת H. = Z 4 נשים לב כי ב- H יש איבר מסדר 4. אילו היה איזומורפיזם f, : G H אז הסדר של האיבר מסדר 4 היה מחלק את הסדר של המקור שלו. בחבורה G כל האיברים מסדר 1 או 2, לכן הדבר לא יתכן, ולכן החבורות לא איזומורפיות. באופן כללי, איזומורפיזם שומר על סדר האיברים, ולכן בחבורות איזומורפיות הרשימות של סדרי האיברים בחבורות, הן שוות. טענה 15.6 (לבית). יהי f : G H הומומורפיזם. הוכיחו שאם G אבלית, אז im f אבלית. הסיקו שאם G, = H אז G אבלית אם ורק אם H אבלית. תרגיל.15.7 יהי f : G H הומומורפיזם. הוכיחו שאם G ציקלית, אז im f ציקלית. הוכחה. נניח a.g = נטען כי f(a).im f = יהי x im f איבר כלשהו. לכן יש איבר g G כך ש- x f(g) = (כי im f היא תמונה אפימורפית של G). מפני ש- G ציקלית קיים k Z כך ש-.g = a k לכן x = f(g) = f(a k ) = f(a) k וקיבלנו כי f(a) x, כלומר כל איבר בתמונה הוא חזקה של.f(a) הסיקו שכל החבורות הציקליות מסדר מסוים הן איזומורפיות. 32
תרגיל.15.8 האם קיים איזומורפיזם?f : S 3 Z 6 פתרון. לא, כי S 3 לא אבלית ואילו Z 6 כן. תרגיל.15.9 האם קיים איזומורפיזם +) (Q,?f : (Q +, ) פתרון. לא. נניח בשלילה כי f הוא אכן איזומורפיזם. לכן f(a)+f(a).f(a 2 ) = נסמן (3)f c, = ונשים לב כי c. = c + c מפני ש- f היא על, אז יש מקור ל- c ונסמן אותו 2 2 2.f(x) = c 2 קיבלנו אפוא את המשוואה f(x 2 ) = f(x) + f(x) = c = f(3) ומפני ש- f היא חח ע, קיבלנו = 3 2 x. אך זו סתירה כי / Q 3. תרגיל.15.10 האם קיים אפימורפיזם?f : H Z 3 Z 3 כאשר R?H = 5 פתרון. לא. נניח בשלילה שקיים f כזה. מפני ש- H היא ציקלית, אז גם im f היא ציקלית. אבל f היא על, ולכן נקבל כי.im f = Z 3 Z 3 אך זו סתירה כי החבורה Z 3 Z 3 אינה ציקלית. תרגיל.15.11 האם קיים מונומורפיזם?f : GL 2 (Q) Q 10 פתרון. לא. נניח בשלילה שקיים f כזה. נתבונן בצמצום f, : GL 2 (Q) im f שהוא איזומורפיזם (להדגיש כי זהו אפימורפיזם ומפני ש- f חח ע, אז f היא איזומורפיזם). ידוע לנו כי,im f Q 10 ולכן im f אבלית. כלומר גם (Q) GL 2 אבלית, שזו סתירה. מסקנה. יתכנו ארבע הפרכות ברצף. תרגיל.15.12 מתי ההעתקה i : G G המוגדרת לפי 1 g i(g) = היא אוטומורפיזם? פתרון. ברור שההעתקה הזו מחבורה לעצמה היא חח ע ועל. כעת נשאר לבדוק שהיא שומרת על הפעולה (כלומר הומומורפיזם). יהיו,g h G ונשים לב כי i(gh) = (gh) 1 = h 1 g 1 = i(h)i(g) = i(hg) וזה יתקיים אם ורק אם.gh = hg כלומר i היא אוטומורפיזם אם ורק אם G אבלית. כהערת אגב, השם של ההעתקה נבחר כדי לסמן.inversion 16 תת חבורות נורמליות הגדרה 16.1. תת חבורה H G נקראת תת חבורה נורמלית אם לכל g G מתקיים.H G במקרה זה נסמן.gH = Hg משפט 16.2. תהי תת חבורה H. G התנאים הבאים שקולים: 33
.H G.1.2 לכל g G מתקיים.g 1 Hg = H.3 לכל g G מתקיים.g 1 Hg H G). היא גרעין של הומומורפיזם (שהתחום שלו הוא H 4. הוכחה חלקית. קל לראות כי סעיף 1 שקול לסעיף 2. ברור כי סעיף 2 גורר את סעיף 3, ובכיוון השני נשים לב כי אם g 1 Hg H וגם ghg 1 H נקבל כי H = gg 1 Hgg 1 g 1 Hg H קל להוכיח שסעיף 4 גורר את האחרים, ובכיוון השני יש צורך בהגדרת חבורות מנה. דוגמה 16.3. אם G חבורה אבלית, אז כל תת החבורות שלה הן נורמליות. הרי אם,h H G אז.g 1 hg = h H ההפך לא נכון! יהי אפשר לראות זאת לפי הצמדה. דוגמה.16.4 מתקיים ) (F.SL n (F ) GL n ) (F,A SL n אז לכל ) (F g GL n מתקיים det(g 1 Ag) = det(g 1 ) det(a) det(g) = det(g) 1 1 det(g) = 1 ולכן ) (F.g 1 Ag SL n דרך אחרת להוכחה היא לשים לב כי ) (F SL n היא הגרעין של ההומומורפיזם F.det : GL n (F ) אתגר: הוכיחו בעזרת דוגמה זו כי A. n S n דוגמה τ D 3.16.5 אינה נורמלית כי.σ τ = τ σ טענה.16.6 תהי H G תת חבורה מאינדקס.2 אזי.H G הוכחה. אנו יודעים כי יש רק שתי מחלקות שמאליות של H בתוך G, ורק שתי מחלקות ימניות. אחת מן המחלקות היא H. אם איבר a, / H אז המחלקה השמאלית האחרת היא,aH והמחלקה הימנית האחרת היא.Ha מכיוון ש- G היא איחוד של המחלקות נקבל H ah = G = H Ha ומפני שהאיחוד בכל אגף הוא זר נקבל.aH = Ha.[D n : σ ] = 2n n מסקנה.16.7 מתקיים σ D n כי לפי משפט לגראנז = 2 הערה.16.8 אם K H G וגם,K G אז בוודאי.K H ההפך לא נכון. אם K H וגם,H G אז לא בהכרח!K G למשל τ τ, σ 2 D 4 לפי המסקנה הקודמת, אבל ראינו כי τ היא לא נורמלית ב- D. 4 34
תרגיל 16.9. תהי G חבורה. יהיו,H N G תת חבורות. נגדיר מכפלה של תת חבורות להיות HN = {hn : h H, n N} הוכיחו כי אם,N G אז.HN G אם בנוסף,H G אז.HN G פתרון. חבורה היא סגורה להופכי, כלומר H, 1 = H וסגורה למכפלה ולכן.HH = H מפני ש- G N נקבל כי לכל h H מתקיים,hN = Nh ולכן.HN = NH שימו לב שזה לא אומר שבהכרח!nh = hn אלא שקיימים n N וגם h H כך ש- n.nh = h נשים לב כי HN כי e. = e e HN נוסיף הסבר (מיותר) עם האיברים של תת החבורות בשורה השנייה, שבו נניח h i H וגם n. i N נבדוק סגירות למכפלה של :HN HNHN = HHNN = HN h 1 n 1 h 2 n 2 = h 1 h 2n 1n 2 = h 3 n 3 (HN) 1 = N 1 H 1 = NH = HN (h 1 n 1 ) 1 = n 1 1 h 1 1 = n 2 h 2 = h 2n 2 וסגירות להופכי ולכן.HN G אם בנוסף,H G אז לכל g G מתקיים g 1 Hg = H ולכן g 1 HNg = g 1 Hgg 1 Ng = ( g 1 Hg ) ( g 1 Ng ) = HN ולכן.HN G מה קורה אם לא N ולא H נורמליות ב- G? דוגמה 16.10. הגדרנו בתרגיל בית את המ ר כּ ז של חבורה G להיות Z(G) = {g G : h G, gh = hg} דהיינו זהו האוסף של כל האיברים ב- G שמתחלפים עם כל איברי G. שימו לב שתמיד Z(G) G וכי Z(G) אבלית. האם תת חבורה נורמלית היא בהכרח אבלית? כבר ראינו שלא, למשל עבור (R).SL 2 (R) GL 2 17 חבורות מנה נתבונן באוסף המחלקות השמאליות G}. G /H = {gh : g אם (ורק אם) H G אפשר להגדיר על אוסף זה את הפעולה הבאה שיחד איתה נקבל חבורה: (ah) (bh) = ahhb = ahb = abh כאשר בשיוויונות בצדדים השתמשנו בנורמליות. פעולה זו מוגדרת היטב, ואיבר היחידה בחבורה זו הוא.eH = H החבורה G H/ נקראת חבורת המנה של G ביחס ל- H, ולעיתים נאמר G מודולו H. מקובל גם הסימון.G/H 35
דוגמה 17.1. Z היא חבורה ציקלית, ובפרט אבלית. ברור כי.nZ Z נשים לב כי Z/nZ = {a + nz : a Z} = {nz, 1 + nz, 2 + nz,..., (n 1) + nz} כלומר האיברים בחבורה זו הם מן הצורה k + nz כאשר 1 n k.0 הפעולה היא (a + nz) + (b + nz) = (a + b) (mod n) + nz אפשר לראות כי Z /nz = Z n לפי ההעתקה n).k + nz k (mod דוגמה 17.2. לכל חבורה G יש שתי תת חבורות טריוויאליות {e} ו- G, ושתיהן נורמליות. ברור כי = 1 G],[G : ולכן {e}. G /G = דרך אחרת לראות זאת היא לפי ההומומורפיזם הטריוויאלי f : G G המוגדר לפי.g e ברור כי.ker f = G מה לגבי /{e}? G האיברים הם מן הצורה {g}.g {e} = העתקת הזהות id : G G היא איזומורפיזם, שהגרעין שלו הוא {e}. אפשר גם לבנות איזומורפיזם f : G {e}/ G לפי g. {e} g ודאו שאתם מבינים למה זה אכן איזומורפיזם. דוגמה.17.3 תהי,G = R R ונתבונן ב- G.H = R {0} האיברים בחבורת המנה הם G/H = {(a, b) + H : (a, b) G} = {R {b}} b R כלומר אלו הם הישרים המקבילים לציר ה- x. הערה 17.4. עבור חבורה סופית G ותת חבורה H G מתקיים כי G /H = [G : H] = G H תרגיל.17.5 תהי G חבורה (לאו דווקא סופית), ותהי H G כך ש- < n.[g : H] = הוכיחו כי לכל a G מתקיים כי.a n H פתרון. נזכיר כי אחת מן המסקנות מלגראנז היא שבחבורה סופית K מתקיים לכל k K כי.k K = e יהי,a G אזי.aH G/H ידוע לנו כי. G/H = n ולכן a n H = (ah) n = e G/H = H כלומר קיבלנו.a n H תרגיל 17.6. תהי H G תת חבורה מאינדקס 2. הוכיחו כי G H/ היא חבורה אבלית. פתרון. ראינו כבר שאם = 2 H],[G : אז.H G כמו כן = 2 H]. G /H = [G : החבורה היחידה מסדר 2 (שהוא ראשוני), עד כדי איזומורפיזם, היא Z 2 שהיא אבלית. לכן G H/ היא חבורה אבלית. תרגיל 17.7. תהי G חבורה, ויהי T אוסף האיברים מסדר סופי ב- G. הראתם שאם G אבלית, אז T. G הוכיחו: בתרגיל בית 36